Dlaczego warto korzystać z publikacji „Pankratek podpowiada, ile czegoś przypada. Dzielenie i ułamki w klasach 4-6.”
W edukacji obowiązuje mocno ugruntowany pogląd, że mnożenie jest łatwiejsze od dzielenia, wobec czego to mnożenie powinno być wprowadzane w nauce szkolnej jako pierwsze. Można się o tym przekonać przeglądając podręczniki do wczesnoszkolnej edukacji matematycznej. Warto jednak zadać sobie pytanie: Co dla dziecka jest trudniejsze do zrozumienia i obliczenia: czy to, że gdy mamy sześć cukierków dla trojga dzieci, to sprawiedliwy podział wygląda tak, że każde dostanie po dwa,
6 : 3 = 2
czy to, że gdy sześcioro dzieci ma po trzy cukierki, to razem mają ich osiemnaście?
6 x 3 = 18
W obydwu przypadkach wykonujemy przecież działanie na tych samych liczbach: 6 i 3.
W pierwszym przypadku dzielimy liczbę cukierków przez liczbę dzieci i w wyniku mamy dwa cukierki dla każdego dziecka. W drugim przypadku mnożymy liczbę dzieci przez liczbę cukierków u każdego dziecka i w wyniku otrzymujemy osiemnaście cukierków. Teza, że drugie działanie jest łatwiejsze do zrozumienia i obliczenia, wydaje się dość wątpliwa. Dzielenie się kilkoma cukierkami jest dla dzieci bardziej naturalną sytuacją i potrzebą, niż określanie ich łącznej liczby, gdy już zostały podzielone. Zauważmy bowiem, że aby można było wykonać mnożenie, ktoś najpierw musiał podzielić osiemnaście cukierków po równo pomiędzy sześcioro dzieci, czyli mnożenie było poprzedzone dzieleniem.
W edukacji wczesnoszkolnej w zasadzie w każdym przykładzie na mnożenie występuje czynnik, który jest wynikiem wcześniejszego dzielenia lub uporządkowania. Dlaczego więc nie wprowadzać dzielenia przed mnożeniem, w zgodzie z naturalną koleją rzeczy lub przynajmniej robić to równolegle?
Argumentem za wprowadzaniem mnożenia przed dzieleniem nie może być raczej to, że jest ono łatwiejsze na poziomie rachunkowym. Jeśli przyjmiemy, że uczeń powinien pamięciowo opanować tabliczkę mnożenia, więc pamiętać, że 3 x 6 = 18 i że 6 x 3 = 18, to wydaje się, że wywnioskowanie iż 18 : 3 = 6 nie stanowi chyba zbyt wielkiego wyzwania.
Powodem poglądu, że mnożenie wydaje się łatwiejsze może być jego przemienność. Wykonując mnożenie nie trzeba się bowiem zastanawiać nad kolejnością liczb w działaniu, w przeciwieństwie do dzielenia, w którym co jest dzielną, a co dzielnikiem ma zasadnicze znaczenie dla interpretacji wyniku. Z problemem tym można sobie jednak poradzić, jeśli odpowiednio wcześnie wprowadzimy i zilustrujemy zasadę, zgodnie z którą wynik dzielenia zawsze oznacza, ile dzielnej przypada na jednostkę dzielnika. Jak ją zasadę wprowadzić? Proponuję zacząć od nauczenia jej dzieci na pamięć, a może w tym pomóc taka rymowanka:
Wynik dzielenia zawsze
oznacza, ile czegoś
przypada na jeden, jedną,
jedno albo jednego.
A czego na co przypada,
gdybyście wiedzieć chcieli:
tego, co ktoś chce dzielić,
na to, przez co to dzieli.
Z taką propozycją mogą nie zgodzić się zwolennicy poglądu, że matematyka ma przede wszystkim uczyć logicznego myślenia, a nie zapamiętywania. Wystarczy jednak przyjrzeć się uważnie praktyce edukacji matematycznej, żeby stwierdzić, że w przeważającej części opiera się ona właśnie na pamięciowym opanowaniu zasad, algorytmów i schematów rozwiązań typowych zadań. Zaczyna się to od szkoły podstawowej, gdzie dzieci muszą nauczyć się na pamięć nie tylko wspomnianej tabliczki mnożenia, ale też zasad działań pisemnych, działań na ułamkach, cech podzielności liczb, wzorów na pola figur czy objętości. Ten proces nauki matematyki poprzez zapamiętywanie trwa do matury. Wtedy też nauka pamięciowa okazuje się bardzo przydatna, ponieważ zdecydowana większość zadań maturalnych daje się szybko rozwiązać właśnie dzięki pamięciowemu opanowaniu pewnych wzorów, procedur oraz twierdzeń lub umiejętności odszukania ich w materiałach pomocniczych i bezrefleksyjnego wykorzystania.
Dlaczego więc dodatkowo nie spróbować nauczyć dzieci tej opisanej wierszykiem prostej, praktycznej i bardzo przydatnej interpretacji dzielenia, żeby nie musiały przy każdym zadaniu na dzielenie zastanawiać się, co przez co mają podzielić? Zauważmy, że użyte w wierszyku sformułowanie „przypada na” jest bardzo pojemne znaczeniowo i może ułatwić wiele praktycznych interpretacji. Jest też bardziej praktyczne od pojęcia „dzielenie”, którego znaczenie matematyczne nie jest tożsame ze znaczeniem z języka codziennego, do którego dzieci zdążyły się już przyzwyczaić, zanim poznały dzielenie jako działanie.
Żeby to wyjaśnić, wróćmy do przykładu z sześcioma cukierkami i trójką dzieci. Dzielenie rozumiane jako działanie matematyczne oznacza to samo, co dzielenie w sensie fizycznym tylko wtedy, gdy sześć cukierków podzielimy po równo między trójkę dzieci, czyli, każdemu damy po dwa cukierki. A przecież cukierki można też podzielić inaczej: jednemu dziecku dać trzy, drugiemu dwa, a trzeciemu jeden. Mało tego, nawet gdy ich w ogóle nie rozdamy dzieciom, czyli nie podzielimy w sensie fizycznym, to jeśli mamy sześć cukierków dla trójki dzieci, to na każde dziecko przypadają dwa cukierki i to właśnie oznacza wynik dzielenia.
Dzieci jednak mogą utożsamiać pojęcie dzielenia tylko z fizycznym dzieleniem, gdyż takie znaczenie tego słowa poznały jako pierwsze. Dlatego tak ważne jest wczesne wprowadzenie pojęcia „przypada na” i pokazanie, że może odnosić się ono do wielu praktycznych sytuacji, np. takiej:
Lina o długości 8 m waży 4 kg.
Pytanie, ile kilogramów liny przypada na jeden metr jej długości, to inaczej pytanie, ile waży metr liny. A ile metrów liny przypada na jeden kilogram jej wagi, to inaczej pytanie, jaką długość ma lina o masie jednego kilograma. Na obydwa pytania odpowiemy dzieląc odpowiednio masę liny przez jej długość i długość liny przez jej masę.
Podobne rozumowanie można zademonstrować używając też innych wielkości niż długość i masa. Może to być liczba obiektów liczona w sztukach, pole powierzchni, objętość, wartość pieniężna czy czas, które to wielkości mogą być wyrażane w różnych jednostkach. Przecież prędkość samochodu, to nic innego tylko liczba, która mówi ile średnio kilometrów przejechanej drogi przypada na jedną godzinę jazdy.
Jednym z celów zadań ze zbioru „Pankratek podpowiada…” jest właśnie oswojenie uczniów z istotą relacji „przypada na” poprzez zilustrowanie jej wieloma różnorodnymi przykładami, odwołującymi się do różnych wielkości oraz jednostek, w których są wyrażane i różnych sytuacji praktycznych, tak aby uczniowie dostrzegli, że relacja ta może być zastosowana w każdym zadaniu, w którym należy wykonać dzielenie.
Innym celem zbioru jest przeciwdziałanie pewnemu problemowi, który pojawia się przy rozwiązywaniu zadań szkolnych. Uczniowie rozwiązujący zadanie z liną często nie mają świadomości, że prawidłowa odpowiedź jest wynikiem dzielenia dwóch liczb, ponieważ dane w tym zadaniu, jak i w większości podobnych zadań, są tak dobrane, żeby wynik można było odgadnąć. Uczeń po prostu WIE, że skoro 8 m liny waży 4 kg, to lina o masie 1 kg ma dwa metry. Nie zastanawia się zwykle, jakie obliczenie prowadzi do tego wyniku.
Problem polega jednak na tym, że w świecie realnym takich lin nie ma. Jakaś prawdziwa lina o podobnych parametrach może mieć 8,32 m długości i ważyć 3,73 kg. W tym wypadku metoda odgadywania wyniku zawodzi i trzeba wiedzieć, którą liczbę podzielić przez którą, żeby uzyskać odpowiedź na postawione pytania. I tu właśnie przychodzi z pomocą opisana zasada, słuszna bez względu na to, czy dane są liczbami całkowitymi, ułamkami właściwymi, niewłaściwymi, zwykłymi, dziesiętnymi, większymi od jednego czy mniejszymi.
Ograniczanie zadań szkolnych tylko do takich z okrągłymi danymi, ułatwiającymi obliczenia czy wręcz zachęcającymi do odgadywania wyniku, prowadzi uczniów do przekonania, że szkolna matematyka przydaje się tylko do rozwiązywania szkolnych zadań. Nie widzą więc w niej pomocy, gdy zetkną się z realnym problemem i realnymi danymi, jak w ostatnim przykładzie z liną.
Zadania w zbiorze „Pankratek podpowiada…” nie ograniczają się więc do takich, w których dane są okrągłe, łatwe do przeliczenia, ale zawierają też takie dane liczbowe, które mogą wystąpić w realnym świecie. Część tych danych uczniowie muszą sami odczytać z ilustracji do zadań. Dzięki temu, rozwiązywanie zadań staje się dla nich bardziej atrakcyjne i powiązane z praktyką. Dodatkową zachętą i metodą na utrwalenie sposobu rozwiązania zadań, są krótkie podpowiedzi Pankratka w formie rymowanek, przy każdym zadaniu.
Nie wiecie, jak to obliczyć?
Niech was Pankratek oświeci:
podzielcie liczbę owoców,
przez tyle, ile jest dzieci!
Zbiór zawiera nie tylko odpowiedzi do wszystkich zadań w postaci wyników, ale też wszystkie obliczenia prowadzące do wyników.
Dodaj komentarz